El mundo académico se nutre de la circulación libre de
información. Cada uno aporta un granito de
arena, y así se hace cada ladrillo. A veces viene un
Newton, un Einstein, un Bohr, un Mendel, y trae él solo
treinta ladrillos, pero en general es así: granito a granito.

ANÓNIMO

La inequitativa distribución de la riqueza marca una desigualdad
ciertamente criminal. Unos (pocos) tienen (tenemos)
mucho; otros (muchos) tienen poco. Muchos más tienen casi
nada. La sociedad ha sido, hasta aquí, más bien indiferente a las
desigualdades de todo tipo. Se las describe, sí, pero en general
el dolor termina en hacer una suerte de catarsis que parece
"exculpadora". Bueno, no es así. O no debería serlo. Hasta aquí,
ninguna novedad.
La riqueza no sólo se mide en dinero o en poder adquisitivo,
también se mide en conocimiento, o mejor dicho, debería
empezar por ahí. El acceso a la riqueza intelectual es un derecho
humano, sólo que casi siempre está supeditado al fárrago
de lo urgente (nadie puede pretender acceder al conocimiento
si antes no tiene salud, ni trabajo, ni techo, ni comida en su
plato). Así, todos tenemos un compromiso moral: pelear para que
la educación sea pública, gratuita y obligatoria en los niveles
primario y secundario. Los niños y jóvenes tienen que ir a estudiar,
y no a trabajar.
Con la matemática sucede algo parecido. Es una herramienta
poderosa que enseña a pensar. Cuando está bien contada es
seductora, atractiva, dinámica. Ayuda a tomar decisiones educadas
o, al menos, más educadas. Presenta facetas fascinantes que
aparecen escondidas y reducidas a un grupo muy pequeño que
las disfruta. Y es hora de hacer algo, de pelear contra el preconcepto
de que la matemática es aburrida, o de que es sólo para
elegidos.Quiero que la sociedad
advierta que le estamos escamoteando algo y que no hay derecho
a que eso suceda. Hasta aquí, el mensaje de la matemática no tuvo eco, no sólo en la Argentina sino en casi
todo el mundo.
Ha llegado la hora de modificar el mensaje. La matemática presenta problemas y enseña
a disfrutar de cómo resolverlos, así como también enseña a
disfrutar de no poder resolverlos, pero de haberlos "pensado",
porque entrena para el futuro, para tener más y mejores herramientas,
porque ayuda a recorrer caminos impensados y a hacernos
inexorablemente mejores.
Necesitamos, entonces, brindar a todos esa oportunidad.
Créanme que se la merecen.

"Querer imponer a todos los alumnos las normas de los mejores en Matemáticas es una violencia, aceptada por ignorancia de la Didáctica. Y la violencia es el último refugio de la incompetencia"

Guy Brousseau
Doctor en Didáctica de las Matemáticas

DECÁLOGO DE LA DIDÁCTICA MATEMÁTICA MEDIA

1. No adoptar una didáctica rígida, sino amoldarla en cada caso al alumno.

2. No olvidar el origen concreto de la Matemática ni los procesos históricos de su evolución.

3. Presentar la Matemática como una unidad en relación con la vida natural y social.

4. Graduar cuidadosamente los planos de abstracción.

5. Enseñar guiando la actividad creadora y descubridora del alumno.

6. Estimular dicha actividad despertando interés directo y funcional hacia el objeto del conocimiento.

7. Promover en todo lo posible la autocorrección.

8. Conseguir cierta maestría en las soluciones antes de automatizarlas.

9. Cuidar que la expresión del alumno sea traducción fiel de su pensamiento.

10. Procurar a todo alumno éxitos que eviten su desaliento.

Pedro Puig Adam

 

La Didáctica de la Matemática es en la actualidad un área de conocimiento fuertemente enraizada, tanto a nivel científico como desde el punto de vista profesional. El esfuerzo realizado desde las asociaciones de profesores, departamentos de Didáctica de la Matemática y sociedades científicas ha llevado a una amplia producción de materiales didácticos, instrumentos de evaluación y conocimientos teóricos y prácticos sobre la enseñanza de los diferentes contenidos matemáticos y las dificultades del aprendizaje.

 

La integral de Riemann es una operación sobre una función continua y limitada en un intervalo (a; b), donde a y b son llamados los extremos de la integración. La operación consiste en hallar el límite de la suma de productos entre el valor de la función en un punto x_i* y el ancho Δx del subintervalo conteniendo al punto.

Donde n es la cantidad de subintervalos.

Normalmente se nota como:

El símbolo es una "S" deformada. En el caso en que la función f tenga varias variables, el dx especifica la variable de integración.
Si la variable de integración y el intervalo de integración son conocidos, la notación se puede simplificar como .

Algunas funciones no son claramente integrables por Riemann, pero en general las interacciones de los límites con la integral de Riemann son difíciles de estudiar.

La integral de Lebesgue mejora esta teoría y permite obtener una mayor variedad de funciones integrables, así como describir mejor las interacciones de los límites con la integral.

Históricamente, Riemann concibió esta teoría de integración, y proporcionó algunas ideas para el teorema fundamental del cálculo diferencial e integral. La teoría de la integración de Lebesgue llegó mucho más tarde, cuando los puntos débiles de la integral de Riemann se comprendían mejor.

Interpretación geométrica

En Análisis real, la integral de Riemann es una forma simple de definir la integral de una función sobre un intervalo como el área bajo la curva de la función.

Sea f una función con valores reales definida sobre el intervalo [a, b], tal que para todo x, f(x)≥0 (es decir, tal que f es positiva). Sea S = S_f={(x, y)|0≤y≤f(x)} la región del plano delimitada por la curva correspondiente a la función f, el eje de las abscisas y las rectas verticales de ecuaciones x=a y x=b. Estamos interesados en medir el área del dominio S, si es que se puede medir.

Para obtener una aproximación al área encerrada debajo de una curva, se la puede dividir en rectángulos .

El área de cada rectángulo, es el producto de la función en un punto, por el ancho del intervalo.

Al aumentar el número de rectángulos se obtiene una mejor aproximación.

La idea fundamental de la teoría de la integración de Riemann la de utilizar aproximaciones del área del dominio S. Determinaremos un área aproximada de la que estamos seguros de que son inferiores al área del dominio S, y buscaremos un área aproximada que sepamos que es mayor al área de S. Si estas aproximaciones pueden hacerse de forma que la diferencia entre ambas puede hacerse arbitrariamente pequeña, entonces podemos obtener el área del dominio S. Por lo tanto, el límite del área para infinitos rectángulos es el área comprendida debajo de la curva.

 

 

Georg Friedrich Bernhard Riemann (17 de septiembre de 1826 - 20 de junio de 1866) fue un matemático alemán que realizó contribuciones muy importantes en análisis y geometría diferencial, algunas de ellas allanaron el camino para el desarrollo más avanzado de la relatividad general. Su nombre está conectado con la función zeta, la integral de Riemann, el lema de Riemann, las variedades de Riemann, las superficies de Riemann y la geometría de Riemann.

 

 

 

 

 

Los números de la matemática

Un matemático, como un pintor o un poeta, es un

hacedor de patrones. Si sus patrones son más

permanentes que los de ellos, es porque están hechos

con ideas. Un pintor crea patrones con sus formas y

colores, un poeta, con palabras… Un matemático, por

otro lado (a diferencia del poeta), no tiene material para

trabajar salvo con sus ideas, y sus patrones suelen

durar mucho más, ya que las ideas se gastan menos

que las palabras.

G. H. HARDY, A Mathematician’s Apology (1940)

 

Algunas curiosidades matemáticas

y cómo explicarlas (cuando se puede)

Si uno multiplica 111.111.111 por sí mismo, es decir, si lo

eleva al cuadrado, se obtiene el número:

12.345.678.987.654.321

En realidad, es esperable que esto pase porque si uno piensa

cómo hace para multiplicar dos números (y lo invito a que

lo haga), advierte que multiplica cada dígito del segundo por

todos los dígitos del primero, y los corre hacia la izquierda a

medida que avanza.

Como los dígitos del segundo son todos números 1, lo que hace

es repetir el primer número una y otra vez, aunque corriéndolo a

la izquierda en cada oportunidad. Por eso, al sumarlos, encolumnados

de esa forma, se obtiene el resultado de más arriba:

12.345.678.987.654.321

Lo que sigue sí es una curiosidad, y aunque no tengo una

explicación para dar, resulta simpático.

Tome el número

1.741.725

Eleve cada dígito a la séptima potencia y sume los resultados.

Es decir:

17 + 77 + 47 + 17 + 77 + 27 + 57

¿Cuánto le dio?

Bueno, si tuvo paciencia (o una calculadora) para hacer la

cuenta, el resultado es: 1.741.725.

Ahora, tome un número de tres dígitos cualquiera. Digamos el:

472

Construya el número que resulte de escribirlo dos veces

seguidas. En este caso:

472.472

Divida ahora por 7. Con lo que se obtiene:

67.496

Divida ese resultado por 11. Se tiene entonces:

6.136

y a éste divídalo por 13.

El resultado final es…

¡472!

Es decir, el número original, con el que empezó.

¿Por qué pasó esto? ¿Pasará lo mismo con cualquier número

que uno elija?

Antes de dar las respuestas, observe que en el camino dividimos

el número por 7, y dio un resultado exacto. Después lo dividimos

por 11, y volvió a dar un número entero, y finalmente,

encontramos un número que resultó ser un múltiplo de 13.

Más allá de correr a leer por qué pasa esto siempre con cualquier

número de tres dígitos que uno elija, le sugiero que piense

un poco la solución. Es mucho más gratificante pensar uno

solo, aunque no se llegue al resultado, que buscar cómo lo resolví

yo. Si no, ¿qué gracia tiene?

SOLUCIÓN:

Lo primero que uno tiene es un número de tres dígitos; llamémoslo:

abc

Luego, había que repetirlo:

abcabc

El trámite que siguió fue dividir ese número, primero por 7,

luego por 11 y finalmente por 13. ¡Y en todos los casos obtuvo

un resultado exacto, sin que sobrara nada!

Eso significa que el número abcabc tiene que ser múltiplo

de 7, 11 y 13. Es decir que tiene que ser múltiplo del producto

de esos tres números.1 Y justamente, el producto de esos números

es:

7 . 11 . 13 = 1.001

¿Por qué pasa, entonces, que el número en cuestión es múltiplo

de 1.001?

Si uno multiplica el número abc por 1.001, ¿qué obtiene?

(Realice la cuenta y después continúe leyendo.)

abc . (1.001) = abcabc

Acaba de descubrir por qué pasó lo que pasó. Si a cualquier

número de tres dígitos (abc) se le agrega delante el mismo número,

el resultado (abcabc) es un múltiplo de 1.001. Y cuando se

divide el número abcabc por 1.001, el resultado que se obtiene

es abc ²

 

1 Porque si un número es múltiplo de 3 y de 5, por ejemplo, tiene que ser múltiplo

de 15, que es el producto entre 3 y 5. Esto sucede –y le sugiero que lo piense

solo también– porque todos los números aquí involucrados son primos. Por

ejemplo, el número 12 es múltiplo de 4 y de 6, pero no es múltiplo de 24 (producto

de 4 y de 6). En el caso en que los números en cuestión sean primos, entonces

sí el resultado será cierto.

2 Debemos advertir que si uno multiplica un número de tres dígitos por 1.001,

obtendrá el mismo número repetido dos veces consecutivas.

 

No deja de ser una curiosidad, aunque tiene un argumento

que lo sustenta. Y un poco de matemática también.

 

¿Cómo multiplicar si uno no sabe las tablas?
Lo que sigue va en ayuda de aquellos chicos que se resisten
a aprender de memoria las tablas de multiplicar. Me apuro a decir
que los comprendo perfectamente porque, en principio, cuando
a uno le enseñan a repetirlas, no le queda más remedio que
subordinarse a la “autoridad” del/la maestro/a, pero a esa altura
no está claro (para el niño) por qué tiene que hacerlo. Lo que
sigue es, entonces, una forma “alternativa” de multiplicar, que
permite obtener el producto de dos números cualesquiera sin
saber las tablas. Sólo se requiere:
a) saber multiplicar por 2 (o sea, duplicar);
b) saber dividir por 2, y
c) saber sumar.
Este método no es nuevo. En todo caso, lo que podría decir
es que está en desuso u olvidado, ya que era la forma en que multiplicaban
los egipcios y que aún hoy se utiliza en muchas regiones
de Rusia. Es conocido como la multiplicación paisana. En
lugar de explicarlo en general, voy a ofrecer un ejemplo que será
suficiente para entenderlo.
Supongamos que uno quiere multiplicar 19 por 136. Entonces,
prepárese para escribir en dos columnas, una debajo del 19
y otra, debajo del 136.

En la columna que encabeza el 19, va a dividir por 2, “olvidándose” de si sobra algo o no. Para empezar, debajo del 19
hay que poner un 9, porque si bien 19 dividido 2 no es exactamente
9, uno ignora el resto, que es 1, y sigue dividiendo por
2. Es decir que debajo del 9 pone el número 4. Luego, vuelve
a dividir por 2 y queda 2, y al volver a dividir por 2, queda 1.
Ahí para.
Esta columna, entonces, quedó así:
19
9
4
2
1
Por otro lado, en la otra columna, la encabezada por el 136,
en lugar de dividir por 2, multiplique por 2 y coloque los resultados
a la par de la primera columna. Es decir:
19 136
9 272
4 544
2 1.088
1 2.176
Cuando llega al nivel del número 1 de la columna de la
izquierda detenga la duplicación en la columna del 136. Convengamos
en que es verdaderamente muy sencillo. Todo lo que
hizo fue dividir por 2 en la columna de la izquierda y multiplicar
por 2 en la de la derecha. Ahora, sume sólo los números de
la columna derecha que corresponden a números impares de la
izquierda. En este caso:

19 136
9 272
4 544
2 1.088
1 2.176
Al sumar sólo los compañeros de los impares, se tiene:
136 + 272 + 2.176 = 2.584
que es (¡justamente!) el producto de 19 por 136.
Un ejemplo más.
Multipliquemos ahora 375 por 1.517. Me apuro a decir que
da lo mismo elegir cualquiera de los dos números para multiplicarlo
o dividirlo por 2, por lo que sugiero, para hacer menor cantidad
de cuentas, que tomemos el 375 como “cabeza” de la
columna en la que dividiremos por 2. Se tiene entonces:
375 1.517
187 3.034
93 6.068
46 12.136
23 24.272
11 48.544
5 97.088
2 194.176
1 388.352
Ahora hay que sumar los de la segunda columna cuyos compañeros
de la primera columna sean impares:
375 1.517
187 3.034
93 6.068
46 12.136
23 24.272
11 48.544
5 97.088
2 194.176
1 388.352
568.875
Y, justamente, 568.875 es el producto que estábamos buscando.
Ahora, lo invito a que piense por qué funciona este método
que no requiere que uno sepa las tablas de multiplicar (salvo la
del 2, claro).
EXPLICACIÓN:
Cuando uno quiere encontrar la escritura binaria de un
número, lo que debe hacer es dividir el número por 2 reiteradamente,
y anotar los restos que las cuentas arrojan. Por ejemplo:
173 = 86 . 2 + 1
86 = 43 . 2 + 0
43 = 21 . 2 + 1
21 = 10 . 2 + 1
10 = 5 . 2 + 0
5 = 2 . 2 + 1
2 = 1 . 2 + 0
1 = 0 . 2 + 1

Para qué sirven las matemáticas?

La matemática es una exploración de ciertas estructuras  omnipresentes  y  más  o menos  complejas  que se presentan  en nuestra realidad y  que admiten ese acercamiento racional, manipulable mediante símbolos que pone en nuestras manos cierto dominio de la realidad que se refieren y que llamamos matematización.

La matemática se acerca a la multiplicidad y crea la aritmética, se aproxima a forma y origina  la geometría, explora el propio símbolo surgido de la mente y nace el álgebra, analiza los cambios y transformaciones en el espacio y en el tiempo y  surge el análisis matemático.

Debemos considerar a la matemática más allá de la mera técnica, el conocimient0 de la historia de la matemática, el conocimiento y la lectura de las obras de los grandes matemáticos, la aceptación bien explícita y consecuente de las responsabilidades que implica el saber matemático ante nosotros mismos y la sociedad en que vivimos.

La matemática es consenso, es sometimiento a la realidad, pero es también y de forma muy importante libertad.