Curiosidades matemáticas: Como explicarlas

¿Cómo multiplicar si uno no sabe las tablas?
Lo que sigue va en ayuda de aquellos chicos que se resisten
a aprender de memoria las tablas de multiplicar. Me apuro a decir
que los comprendo perfectamente porque, en principio, cuando
a uno le enseñan a repetirlas, no le queda más remedio que
subordinarse a la “autoridad” del/la maestro/a, pero a esa altura
no está claro (para el niño) por qué tiene que hacerlo. Lo que
sigue es, entonces, una forma “alternativa” de multiplicar, que
permite obtener el producto de dos números cualesquiera sin
saber las tablas. Sólo se requiere:
a) saber multiplicar por 2 (o sea, duplicar);
b) saber dividir por 2, y
c) saber sumar.
Este método no es nuevo. En todo caso, lo que podría decir
es que está en desuso u olvidado, ya que era la forma en que multiplicaban
los egipcios y que aún hoy se utiliza en muchas regiones
de Rusia. Es conocido como la multiplicación paisana. En
lugar de explicarlo en general, voy a ofrecer un ejemplo que será
suficiente para entenderlo.
Supongamos que uno quiere multiplicar 19 por 136. Entonces,
prepárese para escribir en dos columnas, una debajo del 19
y otra, debajo del 136.

En la columna que encabeza el 19, va a dividir por 2, “olvidándose” de si sobra algo o no. Para empezar, debajo del 19
hay que poner un 9, porque si bien 19 dividido 2 no es exactamente
9, uno ignora el resto, que es 1, y sigue dividiendo por
2. Es decir que debajo del 9 pone el número 4. Luego, vuelve
a dividir por 2 y queda 2, y al volver a dividir por 2, queda 1.
Ahí para.
Esta columna, entonces, quedó así:
19
9
4
2
1
Por otro lado, en la otra columna, la encabezada por el 136,
en lugar de dividir por 2, multiplique por 2 y coloque los resultados
a la par de la primera columna. Es decir:
19 136
9 272
4 544
2 1.088
1 2.176
Cuando llega al nivel del número 1 de la columna de la
izquierda detenga la duplicación en la columna del 136. Convengamos
en que es verdaderamente muy sencillo. Todo lo que
hizo fue dividir por 2 en la columna de la izquierda y multiplicar
por 2 en la de la derecha. Ahora, sume sólo los números de
la columna derecha que corresponden a números impares de la
izquierda. En este caso:

19 136
9 272
4 544
2 1.088
1 2.176
Al sumar sólo los compañeros de los impares, se tiene:
136 + 272 + 2.176 = 2.584
que es (¡justamente!) el producto de 19 por 136.
Un ejemplo más.
Multipliquemos ahora 375 por 1.517. Me apuro a decir que
da lo mismo elegir cualquiera de los dos números para multiplicarlo
o dividirlo por 2, por lo que sugiero, para hacer menor cantidad
de cuentas, que tomemos el 375 como “cabeza” de la
columna en la que dividiremos por 2. Se tiene entonces:
375 1.517
187 3.034
93 6.068
46 12.136
23 24.272
11 48.544
5 97.088
2 194.176
1 388.352
Ahora hay que sumar los de la segunda columna cuyos compañeros
de la primera columna sean impares:
375 1.517
187 3.034
93 6.068
46 12.136
23 24.272
11 48.544
5 97.088
2 194.176
1 388.352
568.875
Y, justamente, 568.875 es el producto que estábamos buscando.
Ahora, lo invito a que piense por qué funciona este método
que no requiere que uno sepa las tablas de multiplicar (salvo la
del 2, claro).
EXPLICACIÓN:
Cuando uno quiere encontrar la escritura binaria de un
número, lo que debe hacer es dividir el número por 2 reiteradamente,
y anotar los restos que las cuentas arrojan. Por ejemplo:
173 = 86 . 2 + 1
86 = 43 . 2 + 0
43 = 21 . 2 + 1
21 = 10 . 2 + 1
10 = 5 . 2 + 0
5 = 2 . 2 + 1
2 = 1 . 2 + 0
1 = 0 . 2 + 1