Un poco más de matemática

Los números de la matemática

Un matemático, como un pintor o un poeta, es un

hacedor de patrones. Si sus patrones son más

permanentes que los de ellos, es porque están hechos

con ideas. Un pintor crea patrones con sus formas y

colores, un poeta, con palabras… Un matemático, por

otro lado (a diferencia del poeta), no tiene material para

trabajar salvo con sus ideas, y sus patrones suelen

durar mucho más, ya que las ideas se gastan menos

que las palabras.

G. H. HARDY, A Mathematician’s Apology (1940)

 

Algunas curiosidades matemáticas

y cómo explicarlas (cuando se puede)

Si uno multiplica 111.111.111 por sí mismo, es decir, si lo

eleva al cuadrado, se obtiene el número:

12.345.678.987.654.321

En realidad, es esperable que esto pase porque si uno piensa

cómo hace para multiplicar dos números (y lo invito a que

lo haga), advierte que multiplica cada dígito del segundo por

todos los dígitos del primero, y los corre hacia la izquierda a

medida que avanza.

Como los dígitos del segundo son todos números 1, lo que hace

es repetir el primer número una y otra vez, aunque corriéndolo a

la izquierda en cada oportunidad. Por eso, al sumarlos, encolumnados

de esa forma, se obtiene el resultado de más arriba:

12.345.678.987.654.321

Lo que sigue sí es una curiosidad, y aunque no tengo una

explicación para dar, resulta simpático.

Tome el número

1.741.725

Eleve cada dígito a la séptima potencia y sume los resultados.

Es decir:

17 + 77 + 47 + 17 + 77 + 27 + 57

¿Cuánto le dio?

Bueno, si tuvo paciencia (o una calculadora) para hacer la

cuenta, el resultado es: 1.741.725.

Ahora, tome un número de tres dígitos cualquiera. Digamos el:

472

Construya el número que resulte de escribirlo dos veces

seguidas. En este caso:

472.472

Divida ahora por 7. Con lo que se obtiene:

67.496

Divida ese resultado por 11. Se tiene entonces:

6.136

y a éste divídalo por 13.

El resultado final es…

¡472!

Es decir, el número original, con el que empezó.

¿Por qué pasó esto? ¿Pasará lo mismo con cualquier número

que uno elija?

Antes de dar las respuestas, observe que en el camino dividimos

el número por 7, y dio un resultado exacto. Después lo dividimos

por 11, y volvió a dar un número entero, y finalmente,

encontramos un número que resultó ser un múltiplo de 13.

Más allá de correr a leer por qué pasa esto siempre con cualquier

número de tres dígitos que uno elija, le sugiero que piense

un poco la solución. Es mucho más gratificante pensar uno

solo, aunque no se llegue al resultado, que buscar cómo lo resolví

yo. Si no, ¿qué gracia tiene?

SOLUCIÓN:

Lo primero que uno tiene es un número de tres dígitos; llamémoslo:

abc

Luego, había que repetirlo:

abcabc

El trámite que siguió fue dividir ese número, primero por 7,

luego por 11 y finalmente por 13. ¡Y en todos los casos obtuvo

un resultado exacto, sin que sobrara nada!

Eso significa que el número abcabc tiene que ser múltiplo

de 7, 11 y 13. Es decir que tiene que ser múltiplo del producto

de esos tres números.1 Y justamente, el producto de esos números

es:

7 . 11 . 13 = 1.001

¿Por qué pasa, entonces, que el número en cuestión es múltiplo

de 1.001?

Si uno multiplica el número abc por 1.001, ¿qué obtiene?

(Realice la cuenta y después continúe leyendo.)

abc . (1.001) = abcabc

Acaba de descubrir por qué pasó lo que pasó. Si a cualquier

número de tres dígitos (abc) se le agrega delante el mismo número,

el resultado (abcabc) es un múltiplo de 1.001. Y cuando se

divide el número abcabc por 1.001, el resultado que se obtiene

es abc ²

 

1 Porque si un número es múltiplo de 3 y de 5, por ejemplo, tiene que ser múltiplo

de 15, que es el producto entre 3 y 5. Esto sucede –y le sugiero que lo piense

solo también– porque todos los números aquí involucrados son primos. Por

ejemplo, el número 12 es múltiplo de 4 y de 6, pero no es múltiplo de 24 (producto

de 4 y de 6). En el caso en que los números en cuestión sean primos, entonces

sí el resultado será cierto.

2 Debemos advertir que si uno multiplica un número de tres dígitos por 1.001,

obtendrá el mismo número repetido dos veces consecutivas.

 

No deja de ser una curiosidad, aunque tiene un argumento

que lo sustenta. Y un poco de matemática también.